domingo, 2 de agosto de 2009
domingo, 15 de março de 2009
quinta-feira, 24 de julho de 2008
segunda-feira, 21 de julho de 2008
ESSE EXERCÍCIO NOS PERMITE ENTENDER UM POUCO SOBRE A GEOMETRIA DOS CONES ; OBS: AS RESPOSTAS ESTÃOS MARCADOS PELO X
Geometria Espacial - CONES
1. Uma torneira enche um funil cônico à razão de 100p cm3/s, enquanto uma outra torneira o esvazia à razão de 28p cm3/s. Sendo 6 cm o raio da boca do funil e 12 cm a sua altura, o tempo, em segundos, necessários para que o funil fique completamente cheio é correspondente a:
A) 2 x
B) 3
C) 4
D) 5
2. Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m . Então, a área total, em metros quadrados, vale:
A) 36π x
B) 52π
C) 16π
D) 20π
3. Uma ampulheta pode ser considerada como formada por 2 cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. A razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro é
A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
4. O raio da base de um cone de revolução mede 3 cm e o perímetro de sua secção meridiana mede 16 cm. O seu volume é
A) 12π cm3
B) 24π cm3
C) 6π cm3
D) 36π cm3
5. Calcule a área total e o volume de um cone eqüilátero, sabendo que a área lateral é igual a 24π cm2.
6. Dois sólidos de formatos cilíndricos têm bases de mesmo raio R. De um deles, foi extraída uma parte cônica, que foi colada no outro, conforme mostra a figura abaixo. Aos dois sólidos resultantes, de mesma altura H, chamaremos de S1 e S2 .
Se V(S1) e V(S2) denotam, respectivamente, os volumes de S1 e S2, pode-se afirmar que:
A)
V(S1) > V(S2) x
B)
V(S1) + V(S2) = 2πR2 H
C)
V(S1) < V(S2)
D)
V(S1) + V(S2) = 7πR2H/3
7. Seja g a geratriz de um cone circular reto inscrito num cilindro circular reto de mesma área lateral, base e altura. O volume V desse cone é:
A)
V = p g3 / 24
B)
V = p g3 / 8 x
C)
V = p g3 / 12
D)
V = 2p g3 / 3
E)
V = 3p g3 / 2
8. Um tronco de cone circular reto está circunscrito a uma esfera de volume 4 /3 dm3. A geratriz do tronco de cone forma um ângulo de 30o com o raio da base maior. A geratriz desse tronco de cone vale, em dm:
A)
B)
C)
4. x
D)
E)
3.
9. O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi construído a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo:
A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circunscrita é:
A)
√3
B)
√3 /2
C)
√3 /3 x
D)
√3 /4
10.
A)
B)
C)
D)
x
E)
11. Construa um copo de papel!
Recorte um círculo de papel de diâmetro igual a 12 cm .
Divida-o em três partes iguais e cole cada parte, conforme indicado na figura.
Pronto! Você fez três copos de papel!
Qual das ilustrações a seguir melhor representa as dimensões dos copos construídos seguindo as instruções acima?
A)
. x
B)
.
C)
.
D)
.
E)
.
12. O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128p m³, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:
A)
9 e 8
B)
8 e 6 x
C)
8 e 7
D)
9 e 6
E)
10 e 8
13. A base do cone equilátero da figura foi pintada com 10 latas de tinta, cada uma contendo 1,8 litros de tinta.
Nessas condições, para pintar a área lateral desse cone a quantidade de tinta necessária, em litros, é igual a:
A)
18
B)
27
C)
30
D)
36 x
E)
40
14. Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e OB de comprimento R√2 e lado AB de comprimento 2R. O volume do sólido, obtido pela rotaçãodeste triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
15. Em uma mineração, com o uso de esteira rolante, é formado um monte cônico de minério, cuja razão entre o raio da base e a altura se mantém constante. Se a altura do monte for aumentada em 30%, então, o aumento de volume do minério ficará mais próximo de:
A)
60%
B)
150%
C)
90%
D)
120% x
16. Uma torneira enche um funil cônico à razão de 100p cm3/s, enquanto uma outra torneira o esvazia à razão de 28p cm3/s. Sendo 6 cm o raio da boca do funil e 12 cm a sua altura, o tempo, em segundos, necessários para que o funil fique completamente cheio é correspondente a:
A)
2 x
B)
3
C)
4
D)
5
17. Um vasilhame em forma de cone, com vértice voltado para baixo e altura igual a h u.c., encontra-se cheio de dois líquidos imiscíveis, p e q, de modo que o líquido p ocupa a parte de baixo do vasilhame, e o líquido q, a parte de cima.
Se o volume do líquido q é igual a 7/8 do volume do vasilhame, então a altura alcançada pelo líquido p, em u.c., é igual a:
A)
1 - Ö7/2
B)
h/8
C)
h/2 x
D)
2h/3
E)
1 - hÖ3/2
18. Um cone circular reto é tal que cada seção obtida pela interseção de um plano que passa por seu vértice e pelo centro da sua base é um triângulo retângulo de catetos iguais. Se cortarmos esse cone ao longo de uma geratriz, abrindo e planificando sua superfície lateral, será obtido um setor circular cujo ângulo central tem medida a . Então:
A)
a < 180°
B)
180° £ a < 200°
C)
200° £ a < 220°
D)
220° £ a < 240°
E)
a ³ 240 x
19.
A)
65%
B)
60%
C)
50% x
D)
45%
E)
70%
1. Uma torneira enche um funil cônico à razão de 100p cm3/s, enquanto uma outra torneira o esvazia à razão de 28p cm3/s. Sendo 6 cm o raio da boca do funil e 12 cm a sua altura, o tempo, em segundos, necessários para que o funil fique completamente cheio é correspondente a:
A) 2 x
B) 3
C) 4
D) 5
2. Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m . Então, a área total, em metros quadrados, vale:
A) 36π x
B) 52π
C) 16π
D) 20π
3. Uma ampulheta pode ser considerada como formada por 2 cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. A razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro é
A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
4. O raio da base de um cone de revolução mede 3 cm e o perímetro de sua secção meridiana mede 16 cm. O seu volume é
A) 12π cm3
B) 24π cm3
C) 6π cm3
D) 36π cm3
5. Calcule a área total e o volume de um cone eqüilátero, sabendo que a área lateral é igual a 24π cm2.
6. Dois sólidos de formatos cilíndricos têm bases de mesmo raio R. De um deles, foi extraída uma parte cônica, que foi colada no outro, conforme mostra a figura abaixo. Aos dois sólidos resultantes, de mesma altura H, chamaremos de S1 e S2 .
Se V(S1) e V(S2) denotam, respectivamente, os volumes de S1 e S2, pode-se afirmar que:
A)
V(S1) > V(S2) x
B)
V(S1) + V(S2) = 2πR2 H
C)
V(S1) < V(S2)
D)
V(S1) + V(S2) = 7πR2H/3
7. Seja g a geratriz de um cone circular reto inscrito num cilindro circular reto de mesma área lateral, base e altura. O volume V desse cone é:
A)
V = p g3 / 24
B)
V = p g3 / 8 x
C)
V = p g3 / 12
D)
V = 2p g3 / 3
E)
V = 3p g3 / 2
8. Um tronco de cone circular reto está circunscrito a uma esfera de volume 4 /3 dm3. A geratriz do tronco de cone forma um ângulo de 30o com o raio da base maior. A geratriz desse tronco de cone vale, em dm:
A)
B)
C)
4. x
D)
E)
3.
9. O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi construído a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo:
A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circunscrita é:
A)
√3
B)
√3 /2
C)
√3 /3 x
D)
√3 /4
10.
A)
B)
C)
D)
x
E)
11. Construa um copo de papel!
Recorte um círculo de papel de diâmetro igual a 12 cm .
Divida-o em três partes iguais e cole cada parte, conforme indicado na figura.
Pronto! Você fez três copos de papel!
Qual das ilustrações a seguir melhor representa as dimensões dos copos construídos seguindo as instruções acima?
A)
. x
B)
.
C)
.
D)
.
E)
.
12. O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128p m³, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:
A)
9 e 8
B)
8 e 6 x
C)
8 e 7
D)
9 e 6
E)
10 e 8
13. A base do cone equilátero da figura foi pintada com 10 latas de tinta, cada uma contendo 1,8 litros de tinta.
Nessas condições, para pintar a área lateral desse cone a quantidade de tinta necessária, em litros, é igual a:
A)
18
B)
27
C)
30
D)
36 x
E)
40
14. Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e OB de comprimento R√2 e lado AB de comprimento 2R. O volume do sólido, obtido pela rotaçãodeste triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
15. Em uma mineração, com o uso de esteira rolante, é formado um monte cônico de minério, cuja razão entre o raio da base e a altura se mantém constante. Se a altura do monte for aumentada em 30%, então, o aumento de volume do minério ficará mais próximo de:
A)
60%
B)
150%
C)
90%
D)
120% x
16. Uma torneira enche um funil cônico à razão de 100p cm3/s, enquanto uma outra torneira o esvazia à razão de 28p cm3/s. Sendo 6 cm o raio da boca do funil e 12 cm a sua altura, o tempo, em segundos, necessários para que o funil fique completamente cheio é correspondente a:
A)
2 x
B)
3
C)
4
D)
5
17. Um vasilhame em forma de cone, com vértice voltado para baixo e altura igual a h u.c., encontra-se cheio de dois líquidos imiscíveis, p e q, de modo que o líquido p ocupa a parte de baixo do vasilhame, e o líquido q, a parte de cima.
Se o volume do líquido q é igual a 7/8 do volume do vasilhame, então a altura alcançada pelo líquido p, em u.c., é igual a:
A)
1 - Ö7/2
B)
h/8
C)
h/2 x
D)
2h/3
E)
1 - hÖ3/2
18. Um cone circular reto é tal que cada seção obtida pela interseção de um plano que passa por seu vértice e pelo centro da sua base é um triângulo retângulo de catetos iguais. Se cortarmos esse cone ao longo de uma geratriz, abrindo e planificando sua superfície lateral, será obtido um setor circular cujo ângulo central tem medida a . Então:
A)
a < 180°
B)
180° £ a < 200°
C)
200° £ a < 220°
D)
220° £ a < 240°
E)
a ³ 240 x
19.
A)
65%
B)
60%
C)
50% x
D)
45%
E)
70%
segunda-feira, 14 de julho de 2008
segunda-feira, 7 de julho de 2008
CONCEITO DO CONE
A medida, em radianos, do ângulo central de um setor circular de raio r cujo arco tem comprimento ℓ é:
Cone circular Sejam um círculo C de centro O contido em um plano α e um ponto V não-pertencente a α. Consideremos todos os segmentos de reta que possuem um extremo pertencente ao círculo e o outro extremo é V. A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cone circular limitado de base C e vértice V ou simplesmente cone circular. Cone circular reto Cone circular reto é todo cone circular cujo eixo é perpendicular ao plano da base. Em todo cone circular reto. A altura é a medida do segmento cujos extremos são o vértice V e o centro O da base.
O cone circular reto também é conhecido por cone de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução de 360° em torno de um dos catetos de uma região limitada por um triângulo retângulo.
Cone oblíquo é todo aquele cujo eixo não é perpendicular ao plano da base.
O teorema de Pitágoras e o cone circular reto Consideremos uma secção meridiana de um cone circular reto tal que o raio da base, a geratriz e a altura meçam r, g e h respectivamente. Pelo teorema de Pitágoras, temos que: g2 = r2 + h2
Tronco de cone circular de bases paralelas Consideremos um plano α paralelo à base de um cone circular separando-o em dois sólidos. Um desses dois sólidos é um cone e o outro é tronco de cone circular de bases paralelas.
Note que o volume VTdo tronco é igual à diferença entre os volumes Vc e Vc”, ¬ dos cones C e C’, respectivamente, isto é: VT = VC – VC’
Cone circular Sejam um círculo C de centro O contido em um plano α e um ponto V não-pertencente a α. Consideremos todos os segmentos de reta que possuem um extremo pertencente ao círculo e o outro extremo é V. A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cone circular limitado de base C e vértice V ou simplesmente cone circular. Cone circular reto Cone circular reto é todo cone circular cujo eixo é perpendicular ao plano da base. Em todo cone circular reto. A altura é a medida do segmento cujos extremos são o vértice V e o centro O da base.
O cone circular reto também é conhecido por cone de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução de 360° em torno de um dos catetos de uma região limitada por um triângulo retângulo.
Cone oblíquo é todo aquele cujo eixo não é perpendicular ao plano da base.
O teorema de Pitágoras e o cone circular reto Consideremos uma secção meridiana de um cone circular reto tal que o raio da base, a geratriz e a altura meçam r, g e h respectivamente. Pelo teorema de Pitágoras, temos que: g2 = r2 + h2
Tronco de cone circular de bases paralelas Consideremos um plano α paralelo à base de um cone circular separando-o em dois sólidos. Um desses dois sólidos é um cone e o outro é tronco de cone circular de bases paralelas.
Note que o volume VTdo tronco é igual à diferença entre os volumes Vc e Vc”, ¬ dos cones C e C’, respectivamente, isto é: VT = VC – VC’
quinta-feira, 19 de junho de 2008
Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.
Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.
Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.
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